役者に衣装、数学者に論証
高橋 譲嗣
(所属: 人間環境学専攻 環境基礎論講座、研究分野: 数理論理学)
私は数学を専門にしています。数学者の大事な商売道具のひとつに論証があります。一定の仮定が成り立てば、台風が来ようと地震が起ころうと特定の結論が必ず成り立つことを保証する、論理の法則のことです。数学で定理を証明するときに使います。数学以外の世界でも、たとえば日常の生活において他の人との見解の相違を解決するために使うこともできるのですが、使い方を誤ると周りの人から煙たがられるという副作用をひき起こすことが知られていますので、注意が必要です。数学の定理の証明に関連して自分で使うだけでなく、論証による証明の技能に関する知恵をこういったことに興味を持っておられる方々と共有したいものだと思っています。この辺の話にしばらくおつきあいください。
論証による証明は難しいです。自分自身学生として数学を勉強したころ、授業で先生が証明を解説するのを聞いて、本に書かれている証明を読んで、あるいは自分で定理を一から証明しようとして、何がなんだかさっぱりわからないと思ったことは数限りなくありました。今もしょっちゅうあります。
正確に言うと、論証によるすべての証明が難しいわけではありません。複雑な証明が難しいのです。さらっと苦もなくわかるシンプルな証明もあるのですが、こういうのは出会っても印象に残りません。理解にてこずった証明のみが記憶に残るという傾向があります。その結果、論証による証明一般が難しいという印象を持つに至ります。
複雑な証明が難解なのはある程度仕方がありません。論証による証明であれなんであれ、複雑なものを理解するのが難しいのは世の常です。どんな証明も小さな推論を積み重ねることにより構成されます。単位となる推論の種類は驚くほど少数しかなく、ひとつひとつはどれも至極簡単で当たり前なのですが、意味のある定理を証明するとなると、往々にして何百何千もの推論をつなぎ合わせるという作業が必要となり、そうすると処理を要する情報量が膨大なものとなり、頭がパンクしてしまいます。複雑な証明が難しい所以です。
なすすべがないというわけではありません。推論の組み合わせ方は数限りなくあるにしても、ある程度予想可能なパターンがあります。迷路のように推論が錯綜する証明も、核となる流れ、それから派生する支流、支流から派生するさらに細かい支流等からなる構造体として認識すれば、だんだんと形が見えてきます。証明の記述の仕方を工夫することにより、こういった構造のうち目で見ただけで理解できる部分を増やし、その結果解放される脳力をより高度な作業に振り向けることができます。こういった知恵がつくにつれ、対応できる証明のレパートリーが拡大し、自分の思い通りに操ることができるかわいい証明のコレクションが増えていきます。
数学の世界で修行を積むなかで、論証による証明の実務を自分なりに体系化してきました。自分で少しわかりだすと、人に聞かせたくなります。神戸大学の人間発達環境学研究科および発達科学部で担当しているいくつかの授業においては、学生さんたちに年がら年中こういう話をしています。授業以外では、中学校・高等学校の教員の皆様を対象とする講習の場を借りてこういう内容を聞いてもらったこともあります。インターネットを利用した情報交換の手法を利用してもっと広範囲の人々と論証にまつわる知恵を交換することも考えているのですが、なにぶんabstractionはそこそこ得意なもののactionが苦手なものですから、この方面はなかなか進んでおりません。
自分が好きでやっていることを社会貢献の例として差し出すことにいささかの後ろめたさを感じるのですが、論証の技能に対してある程度社会の需要があることでしょうから、罰があたるほどのことはなかろうと思い、今回はそうさせていただきました。
Updated: 2010/07/23 (Fri) 13:37